Geschichten aus der Mathematik | William Rowan Hamilton und die vierdimensionalen Zahlen

Ein Geistesblitz mit Folgen

Am 16. Oktober 1843 geht der Mathematiker William Rowan Hamilton mit seiner Frau am Royal Canal in Dublin spazieren. Hamilton bleibt kurz vor der Broom Bridge plötzlich stehen. Später wird er sagen, Funken sprühten durch seinen Kopf. Er weiß sofort, dass er die Lösung für eine Frage hat, die ihn bereits seit einem Jahrzehnt quält. Er geht auf die Broom Bridge zu und ritzt mit einem Messer eine Formel in die Brücke: i2 = j2 = k2 = ijk = −1

Vorliebe für verbotene Zahlen

William Rowan Hamilton wird 1805 in Dublin geboren und gilt als Wunderkind. Mit drei Jahren kann er lesen und rechnen, mit sechs Jahren übersetzt er bereits Latein, Griechisch und Hebräisch und lernt in den darauffolgenden Jahren noch weitere Sprachen dazu. Mit nur 22 Jahren wird er Professor für Astronomie am Trinity College in Dublin. Leidenschaftlich gern widmet er sich jedoch Problemen der mathematischen Physik. Dabei haben es ihm die komplexen Zahlen besonders angetan. Das ist eine Mischung aus reellen und imaginären Zahlen. Imaginäre Zahlen sind Wurzeln aus negativen Zahlen. Eine komplexe Zahl wäre also zum Beispiel: 2 + √(−1).

In einem Paper liest Hamilton, dass sich komplexe Zahlen auch als Pärchen zweier reeller Zahlen darstellen lassen, so als hätte die Zahl zwei Dimensionen — man ignoriert einfach die negative Wurzel. Hamilton stellt sich dann die Frage: Kann man nicht eine dritte Dimension hinzudenken? Mehr als zehn Jahre lang grübelt er über das Problem, bis er an der Broom Bridge seinen Geistesblitz hat. Hamilton entdeckt, dass er nicht drei, sondern vier Dimensionen benötigt, um ein funktionierendes Zahlensystem zu schaffen. Diese Quaternionen bestehen aus einem reellen und drei imaginären Teilen. Was damals als abstrakte Spielerei gilt, soll über 150 Jahre später zum Goldstandard der Softwareentwicklung werden.

Quarternionen: Effizienz statt Rechenchaos

In den 1990er Jahren stehen Entwickler von 3D-Spielen wie Tomb Raider vor einem Problem: Die Rechenleistung der PCs ist minimal. Um Drehungen im Raum zu berechnen, nutzt man normalerweise Matrizen mit neun Einträgen — eine rechenintensive Angelegenheit. Quaternionen hingegen benötigen nur vier Zahlen. Durch diese mathematische Eleganz kann sich Lara Croft flüssig und ohne Ruckeln in der Third-Person-Perspektive bewegen.

In dieser Folge von „Geschichten aus der Mathematik“ sprechen Manon Bischoff und Demian Manuel Goos über Hamiltons Erbe, die Quaternionen als mathematisches Konzept und eine hartnäckige Lösungssuche.