Leçon inaugurale : Réduire la complexité pour maîtriser la résolution des modèles mathématiques

Yvon Maday

Informatique et sciences numériques

Collège de France

Année 2025-2026

Leçon inaugurale : Réduire la complexité pour maîtriser la résolution des modèles mathématiques

Résumé

L'objet de cette leçon inaugurale est de sensibiliser à la modélisation mathématique de phénomènes complexes, d'expliquer pourquoi on cherche à les simuler et ce que l'on peut en attendre. La découverte de la notion de modèles mathématiques pour représenter certains phénomènes se fait dès le lycée, mais l'étendue et les applications de ces modélisations restent souvent méconnues. Au lycée, l'enseignement s'articule autour de deux objectifs principaux :

Exprimer, sous des hypothèses clairement énoncées, en langage mathématique ce que des observateurs décrivent par des phrases.

Examiner la validité des hypothèses en confrontant les résultats expérimentaux aux prédictions du modèle.

On réalise très vite que la plupart des modèles utilisés au quotidien – notamment en entreprise – ne possèdent pas de solution analytique explicite. Ils doivent donc être simulés numériquement : à l'instar d'acteurs chargés de jouer une scène de façon réaliste, on confie à des systèmes informatiques la tâche d'incarner chaque paramètre, de faire évoluer l'histoire des variables et de restituer virtuellement le comportement du phénomène étudié. Ces « acteurs » numériques sont capables d'effectuer jusqu'à 1021 opérations en virgule flottante par seconde.

Pourtant, même avec un débit d'expression aussi colossal, les « acteurs » peuvent s'avérer incapables de préserver la fidélité des modèles dans des domaines très complexes – qu'il s'agisse des prévisions météorologiques confiées à Météo-France ou des optimisations industrielles.

L'objectif de ce cours est donc de présenter des approches de réduction de complexité permettant de :

tirer pleinement parti des capacités de calcul existantes,

respecter scrupuleusement le « scénario » du modèle,

et fournir des résultats en temps réel, ouvrant la voie aux jumeaux numériques.

Cette réduction de complexité puise dans la théorie de l'approximation, l'analyse fonctionnelle et numérique, la discrétisation, la conception d'algorithmes de simulation numérique, l'assimilation de données et plus récemment dans l'usage des réseaux de neurones et de l'apprentissage automatique.