Colloque - Géométries aléatoires et applications - François Baccelli : Sur les graphes aléatoires unimodulaires

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2024-2025

Colloque - Géométries aléatoires et applications : Sur les graphes aléatoires unimodulaires

Intervenant :

François Baccelli

Inria & École normale supérieure Paris

Résumé

L'exposé introduira d'abord les graphes aléatoires unimodulaires et donnera plusieurs exemples issus de la théorie des processus ponctuels, des processus de branchement, des marches aléatoires et des ensembles aléatoires discrets auto-similaires. Plusieurs types de résultats sur ces graphes seront ensuite passés en revue :

Des extensions unimodulaires de théorèmes classiques du calcul de Palm et de la théorie ergodique.

Une classification des dynamiques déterministes ou aléatoires sur ces graphes basée sur les propriétés de leurs variétés stables.

Deux nouvelles notions de dimension pour de tels graphes, à savoir leurs dimensions unimodulaires de Minkowski et de Hausdorff.

Cet exposé est basé sur une série d'articles en collaboration avec M.-O. Haji-Mirsadeghi et A. Khezeli.

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Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas.

Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie.

En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition.

Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications.